<<< На главную

Некоторое время тому назад нескольким десяткам ученых из разных стран мира предложили составить список выдающихся деятелей науки в соответствии с тем значением, которое имело их творчество для нашей цивилизации. Первые три места единогласно были отданы Архимеду, И. Ньютону и Ч. Дарвину.

Кто же был этот человек, названный первым, и что он сделал, если все мировое сообщество единодушно признало его самым великим ученым всех времен и народов?
      Биографические сведения об Архимеде – древнегреческом математике, физике, астрономе и инженере – крайне скудны. Известно, что он был сыном астронома и математика Фидия. Учился и некоторое время работал в Александрии (Египет). Архимеда всю жизнь связывали дружеские отношения с тамошними учеными (Эратосфеном, Кононом, Досифеем), и многие его труды сохранились благодаря переписке с ними.

Когда родился Архимед, достоверно не известно, а вот смерть его датируется с абсолютной точностью. Он погиб в день взятия римлянами Сиракуз – родного города ученого. Это случилось в 212 г. до н.э. Считается, то тогда ему было 75 лет. Отсюда выводится год рождения Архимеда – 287 г. до н.э. Мы не знаем был ли женат, имел ли детей и многого другого. Но «от человека остаются… дела его» (М. Горький). Вот о деяниях Архимеда и пойдет далее речь. Память поколений донесла до нас достаточно, чтобы судить о месте ученого в истории науки.

Архимед был родственником и другом царя Гиерона II (ок. 306 – 215 г. до н.э.), который правил Сиракузами более 50 лет. Это был умный и дальновидный политик, умевший ладить со всеми своими воинственными соседями. Тайно поддерживая Карфаген, Гиерон уверял Рим в своей верности и слал «вечному городу» богатые подарки. Это позволило Сиракузам долгое время оставаться в стороне от непрерывной борьбы Рима с Карфагеном за власть и влияние в на Средиземном море.

После смерти Гиерона трон унаследовал его внук Гиероним.

Оба правителя Сиракуз были тиранами, но в разном значении этого слова. В молодости Гиерон был простым солдатом и на самый верх иерархической лестницы поднялся только благодаря своему уму и личной храбрости. Это был просвещенный монарх (он даже писал труды по сельскому хозяйству).

Очень подробную характеристику Гиерону дает древнеримский историк Полибий (210 – 130 гг. до н.э.), который родился всего через 5 лет после смерти сиракузского царя:Гиерон сам, собственными силами приобрел власть над сиракузянами и союзниками, не имея опоры в богатстве, ни в славе, ни в каких-либо иных дарах судьбы. Впоследствии он никого из горожан не убил, не изгнал, не обидел и стал царем сиракузян только благодаря своим достоинствам… В продолжении 54-летнего царствования Гиерон обеспечил мир для родного города, собственную власть оградил от покушений, избежал зависти, которая следует по стопам за всяким превосходством… Всякий раз, когда он хотел сложить с себя власть, его удерживали общие просьбы граждан. Весьма щедрый по отношению к эллинам и ревнивый к доброму имени, он стяжал самому себе громкую славу, а сиракузянам оставил в наследство всеобщее благорасположение».

Гиерон был тираном в смысле «единоличный правитель».

Внук его Гиероним соответствовал другому толкованию этого слова – «угнетатель, мучитель, деспот».

Как появляются тираны и возникает тирания? На этот вопрос, волнующий нас, ответили еще философы древности, предшественники Архимеда: «Тирания,– писал один из них, – это ужасное и гнусное бедствие, обязанное своим происхождением только тому, что люди перестали ощущать необходимость в общем и равном для всех законе и праве. Некоторые люди, неспособные судить здраво, думают, что причины появления тиранов – другие и что люди лишаются свободы без всякой вины с их стороны только потому, чтоподверглись насилию со стороны выдвинувшегося тирана. Однако это ошибка… Как только потребность в бщем для всех законе и праве исчезает из сердца народа, на место закона и права становится отдельный человек».

Сиракузяне недолго терпели царствование Гиеронима – жестокого и развратного юноши. Вскоре он был убит, а в городе провозглашена республика. Новые правители Сиракуз заключили дружественный союз с Карфагеном. Так родной город Архимеда оказался втянутым во Вторую Пуническую войну.

Более 8 месяцев (по другим источникам, около 3 лет) римское войско, возглавляемое консулом и полководцем Марком Клавдием Марцеллом и проконсулом Аппием Клавдием, осаждало Сиракузы с суши и моря, но не могло взять город, потому что во главе обороны стоял Архимед.

Автор «Римской истории» Тит Ливий (59 г. до н.э. – 17 г. н.э.) пишет: «Римляне, взявшие Леонтины (город севернее Сиракуз) с первого же натиска под действием только ужаса, были вполне уверены, что в каком-нибудь месте они прорвутся в обширный, разбросанный по большому пространству город, и придвинули к стенам всю наличность осадочных машин. И начатое с такой силой предприятие увенчалось бы успехом, если бы в то время не было одного человека. Этим человеком был Архимед»3. Как военный инженер, он загодя подготовился к нападению неприятеля и построил много различных оборонительных машин.

Уже упоминавшийся Полибий свидетельствует: «Архимед соорудил машины приспособительно к метанию снарядов на любое расстояние. Так, если неприятель подплывал издали, Архимед поражал его из дальнобойных камнеметальниц тяжелыми снарядами или стрелами и повергал в трудное беспомощное положение. Если же снаряды начинали летать поверх неприятеля, Архимед употреблял в дело меньшие машины, каждый раз сообразуясь с расстоянием, и наводил на римлян такой ужас, что они никак не решались идти на приступ или приблизиться к городу на судах».

Архимед изобрел и применил еще другие механизмы , о которых Полибий пишет: «… с машины пускалась прикрепленная к цепи железная лапа; управляющий жерлом машины захватывал этой лапой нос корабля в каком-нибудь месте и потом внутри стены опускал нижний конец машины. Когда нос судна был таким образом поднят и судно поставлено отвесно на корму, основание машины утверждалось неподвижно, а лапа и цепь при помощи веревки отделялись от машины. Вследствие этого некоторые суда ложились на бок, другие совсем опрокидывались, третьи (большинство) от падения на них передних частей со значительной высоты погружались в море, наполнялись водой и приходили в расстройство».

Рассказав о том же, Плутарх (ок. 45 – 127г.) добавляет: «Под конец римляне были так напуганы, что когда только видели над стеной показывающиеся бревно или веревку, то кричали, что Архимед на них направляет какую-то машину, отступали и обращались в бегство».

У античных писателей можно найти сообщение о том, что Архимед сжег неприятельский флот при помощи зеркал. Этот факт долгое время подвергался сомнению, несмотря на то что французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон (1707 – 1788) еще в 1747 г. при помощи большого зеркала, состоящего из многих небольших плоских стеклянных зеркал, каждое из которых направляло «зайчик» в одну точку, зажег дерево с расстояния 50м.

В 1973 г. греческий инженер И. Сакас повторил опыт Бюффона, несколько видоизменив его (приблизив к одной из легенд, которая утверждала, что Архимед воспламенял римские корабли, направляя на них солнечный свет, отраженный от полированных медных щитов греческих воинов). И. Сакс расставил по берегу несколько десятков солдат, державших в руках плоские зеркала размером 50х91 см. Направленные в одну точку солнечные лучи подожгли лодку, которая стояла в 50 м от берега. Так была окончательно доказана правдивость легенды о «зажигательных зеркалах» Архимеда.

Много месяцев римляне стояли у стен Сиракуз и так бы не взяли город, если бы не праздник богини Артемиды, который осажденные отметили слишком усердно. Ночью штурмовой отряд римлян бесшумно поднялся на стены, перебил уснувшую стражу и ворвался в город. Началась резня.

Некоторые историки пишут о предательстве, благодаря которому римляне смогли захватить город. Возможно, оно имело место – ведь осаждавшим каким-то образом стало известно, что защитники города пьяны. А может быть, римляне просто знали о празднике и догадались о его последствиях.

Повествуя о грабежах и насилиях после Взятия Сиракуз, Тит Ливий пишет: «Немало примеров гнусной злобы и гнусной алчности можно было бы припомнить, но самый знаменитый между ними – Убийство Архимеда. Среди дикого смятения, под крики и топот озверевших солдат, Архимед спокойно размышлял, рассматривая начерченные на песке фигуры, и какой-то грабитель заколол его мечом, даже не подозревая, кто это».

Плутарх сообщает три версии гибели ученого. «Сей геометр занимался рассматриванием некоторой математической фигуры. Погрузившись в созерцание, он не чувствовал ни бегания солдат, ни взятия города. Вдруг предстал перед ним воин и повелел немедленно следовать за ним к Марцеллу . Архимед не хотел, пока не решит задачу… Рассерженный воин обнажил меч и убил его. Другие говорят, что на Архимеда напал римлянин с мечем в руках, чтобы его умертвить, и что Архимед, увидя это, умолял подождать, пока он не решит задачу, но воин не уважил просьбу ученого и лишил его жизни. Третьи говорят, что Архимед сам нес Марцеллу разные матиматические приборы в ящике: солнечные часы, небесный глобус и квадрант, которым измеряют видимую величину Солнца, а попавшиеся ему навстречу воины вообразили, что в ящике золото, и убили его».

Еще об одной легенде, связанной со смертью ученого, рассказывает древнегреческий историк Диодор Сицилийский (ок. 80 – 29 г. до н.э.). Когда римский воин схватил Архимеда, чтобы тащить его к Марцеллу, геометр закричал: «Пусть кто-нибудь из моих соратников даст мне какое-либо из моих орудий!». Римлянин испугалсяи ударил,ученого мечом. Приказа об убийстве Архимеда не было. Сразу же после взятия Сиракуз Марцелл действительно приказал отыскать и привести к нему человека, который так долго и успешно противостоял ему, но было уже поздно. Консул приказал похоронить ученого со всеми возможными почестями.

Архимед как инженер прославился не только своими военными машинами. Он создал также водоподъемный винт (червяк, улитку) и многоступенчатый редуктор. Первый употреблялся как устройство для подъема воды в течение двух тысяч лет. Еще в 20-х годах нашего века в Крыму можно было увидеть «архимедов червяк», который применялся для откачивания густого соляного раствора. Архимедов винт послужил прототипом авиационных пропеллеров и судовых винтов. Второе изобретение использовалось для перемещения больших тяжестей. Плутарх пишет: «Архимед сказал однажды своему родственнику и другу царю Гиерону, что данной силой можно поднять любую тяжесть. В смелом доверии к силе своего доказательства он утверждал, что если бы у него была другая Земля, на которую можно было бы перейти, то он сдвинул бы с места нашу. Удивленный Гиерон стал просить его доказать свои слова и привести в движениебольшое тело малой силой. Архимед взял царское грузовое судно, которое с большим трудом и помощью многих рук вытащено было на берег, посадил на него много людей, положил обычный груз и, сидя спокойно вдали, без малейшего усилия, двигая только рукой конец какой-то сложной машины, стал тащить к себе судно так тихо и ровно, как будто оно плыло по морю». Историки науки предполагают, что Архимед пользовался в данном случае многоступенчатым редуктором, который дает огромный выигрыш в силе.

Рассказывают, что когда Гиерон увидел это «чудо», то он воскликнул: «С этого времени я требую, чтобы Архимеду верили во всем, что он только ни скажет», Теперь – о научном творчестве ученого.

Архимед-математик первым вычислил площади эллипса и параболического сегмента, площади поверхностей конуса и шара, объемы их и сферического сегмента, а также различных тел вращения и их частей. Он нашел, что объемы конуса и цилиндра, имеющих одинаковые основания и высоту, относятся как 1 к 3, а объемы цилиндра и вписанного в него шара – как 3 к 2. Этот последний полученный им резульrат Архимед считал настолько важным, что завещал отобразить его на своей могильной плите, что и было исполпено.

Соответствующий рисунок на камне видел Полибий, побывавший в Сиракузах через 50 лет после смерти ученого.

Еще через 100 лет известный древнеримский государственный деятель, оратор и писатель Марк Туллий Цицерон (106 – 43 гг. до н.э.), назначенный на Сицилию квестором (помощником консула), только по этому приметному знаку нашел заброшенную могилу Архимеда на сиракузском кладбище.

Цицерон пишет: «Мне, квестору, удалось разыскать эту могилу, заросшую сорными травами и репейниками; сиракузяне не только ее не знали, но даже отрицали ее существование. Мне помнились некоторые стихи, о которых я знал, что они написаны на его памятнике; мне было также известно, что вверху его гробницы были выгравированы шар и цилиндр. Внимательно всматриваясь..., я заметил небольшую колонну, немного выступающую из кустов репейника; на ней был виден рисунок шара и цилиндра. Я сказал сиракузянам – меня сопровождали первые лица города, – что это, по-видимому, могила, которую я ищу. Туда были посланы люди с серпами, которые очистили и раскрыли это место. Когда доступ стал свободен, мы подошли к подножию памятника...» 12, (Затем могила снова была забыта, и в настоящее время место погребения ученого неизвестно.

Архимед исследовал спираль специального вида, которая впоследствии была названа его именем, показал, как можно построить касательную к ней и найти площадь ее витка. Он вычислил с большой точностью отношение длины окружности к ее диаметру (архимедово значение числа ? равно 22/7), дал теорию полуправильных выпуклых многогранников (архимедовых тел) и вывел формулу для определения площади треугольника по его трем сторонам (неправильно называемую именем Герона). Главное же достижение Архимеда в математике заключается в том, что, исследуя свою спираль, он выступил как предшественник создателей методов дифференциального исчисления, а решая задачи на нахождение площадей и объемов, применял методы, которые позже (в конце ХVI – начале ХVII в.) были названы методами неделимых и исчерпывания и привели к созданию интегрального исчисления. Таким образом, в некоторых вопросах математики Архимед опередил свое время на 18 столетий!

Он справедливо писал: «...я думаю, что кто-нибудь из теперешних или будущих исследователей посредством предложенного здесь метода найдет и другие теоремы, которые нам не пришли еще в голову».

Поясним «метод исчерпывания» на примере того, как Архиед вычислял площадь круга. Вначале он вписал в него шестиугольник; затем на каждой стороне построил равнобедренный треугольник – получился двенадцатиугольник Последовательно удваивая число сторон, Архимед получил 24-угольник, 48-угольник и, наконец, 96-угольник Построенные многоугольники все более и более покрывали собой площадь круга, как бы постепенно «исчерпывая ее. (Между прочим, этот метод нахождения площади круга до сих пор, через 2200 лет после смерти Архимеда, излагается в совремеменных школьных учебниках геометрии).

Особняком среди математических работ Архимеда стоит его «Исчисление песчинок в пространстве, равном шару неподвижных звезд», или «Псаммит». О цели, которую он преследовал, создавая этот труд, учен:ый сам написал царю Гелону – сыну и соправителю Герона II.

«Есть люди, думающие, что число песчинок бесконечно. Я не говорю о песке в окрестности Сиракуз и других местах Сицилии, но о всем его количестве как в странах населенных, так и необитаемых.

Другие думают, что хотя число это и не бесконечно, но большего представить себе невозможно...

Я, напротив, постараюсь доказать с геометрической точностью, которая убедит тебя, что... есть числа, превышающие число песчинок, которые можно вместить не только в пространстве, равным объему 3емли ... но и целого мира» .

Греки обозначали цифры буквами. Первые девять букв алфавита соответствовали единицам: ?=1, ?=2, ?=3 и т. д., следующие девять букв изображали десятки: ?= 10, ?=20, ?=30 и т. д., оставшиеся буквы – сотни. Так как в греческом алфавите менее 27 букв, то недостающие ифровые знаки обозначалпсь комбинациями букв. Тысяча отмечалась штрихом слева от буквы, десять тысяч назывались мириадой (обозначалась буквой ?).

Мирнада была единицей первого высшего разряда, за ней шли единицы, десятки,

сотни и тысячи мириад.

Дальше этого числа – в современной записи 104•104= 108 (сто миллионов) – греки не считали.

Архимед предложил числа от 1 до 108 называть «первыми числами». 3атем, принимая 108 за единицу, он вводит «вторые числа» – до 102•8, за ними следуют «третьи числа» и т. д.

Описав предложенную им систему счисления, Архимед решает поставленную задачу. По его вычислениям в объеме, который занимает вся видимая Вселенная, содержится тысяча мириад «восьмых чисел» песчинок, что в современной записи соответствует числу 1063.

В физике древнегреческий ученый дал определение центра тяжестй и показал, как его можно найти для различных фигур и тел. Ему принадлежит математический вывод закона равновесия рычага. Это свое достижение Архимед оценил гордой фразой: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину 3емлю!».

В гидростатике он автор известного закона о выталкивающей (подъемной) силе.

В сочинении «О равновесии плоских фигур...» Архимед вводит постулаты, которые очевидны и проверены тысячелетней практической деятельностью.

«1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит татяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, ноперевесит та тяжесть, от которой не было отнято» .

На основании этих аксиом Архимед доказывает закон равновесия рычага: «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, ноторые будут обратно пропорциональны тяжестям... Если величины будут несоизмеримы, то они точно тан же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам» . Под величинами Архимед понимал модули сил, действующих на рычаг.

Архимед ввел в физику понятие удельного веса и установил один из основных законов гидростатики (впоследствии названный его именем), который в современной формулировне звучит так: «На всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости». (Справедлив и для газов.)

В работе «О плавающих телах» Архимед дает различные формулировки этого своего закона, как бы примериваясь к нему с разных сторон. Одна из них гласит:

«Тела более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела».

Античные авторы рассказывают, что Архимед открыл свой занон, когда лежал в ванне и размышлял над решением задачи, заданной ему Гиероном. Царь просил определить, есть ли в короне, сработанной придворным ювелиром, примеси других металлов или она сделана из чистого золота. Догадавшись, как можно решить задачу, Архимед выскочил из ванны и с криком «Эврика!» («Нашел!») побежал по улицам города.

Скорее всего это анекдот, один из многих, какие любят сочинять о великих людях. Но мысль о способе определения объема короны могла прийти ученому тогда, когда он погружался в полную ванну и наблюдал за выливающейся из нее водой.

Архимед занимался также оптикой (вспомните его «зажигательные зеркала»), но труд, посвященный ей, не сохранился. что интересовало ученого в этой области знания, нам известно из работ других авторов: «Почему в плоских зеркалах предметы сохраняют свою натуральную величину, в выпуклых – уменьшаются, а в вогнутых – увеличиваются; почему левые части предметоввидны справа и наоборот; когда изображение в зеркале исчезает и когда появляется; почему вогнутые зеркала, будучи поставлены против Солнца, зажигают поднесенный к ним трут; почему в небе видна радуга; почему иногда кажется, что на небе два одинаковых Солнца и много другого подобного же рода, о чем рассказывается в объемистом томе Архимеда»,– пишет один из них.

Архимед стремился все явления природы описать математически, поэтому его справедливо считают родоначальником математической физики. Галилей прямо называет его своим учителем.

Архимед-астроном предстает перед нами, его потомками, как теоретик, наблюдатель-практик и создатель различных астрономических нриборов. Если его представления об устройстве мира былн ошибочны, то точность его измерений при помощи примитивных приборов поражает. А рхимед первым пытался учесть при нахождении угловых размеров небесных тел и расстояний до них величину зрачка глаза, он не принимал его за точку, как другие ученые. Архимед нашел, что видимый поперечник Солнца заключен между 1/200 и 1/164 долями прямого угла (или между 27 и 35 минутами, в действительности 32').

Архимед очень ясно и понятно описывает, как можно измерить угловые размеры Солнца.

«Укрепив длинную линейку на вертикальной подставке, расположенной в месте, откуда виден восход Солнца, поставим на линейку вертикально небольшой точенный цилиндр. Когда Солнце близко к горизонту и на него можно смотреть, линейна поворачивается в сторону Солнца и глаз располагается на краю линейки. При этом цилиндр, находясь между Солнцем и глазом, закрывает все Солнце. Затем постененно перемещают цилиндр от глаза, пока Солнце не начнет слегка показыаться со всех сторон цилинра; на этом месте цилиндр закрепляется».

Архимед точно определил расстояние до Венеры, а до Марса и Меркурия – с ошибкой в 5 и 8 процентов соответственно. Это не только наиболее раннее из известных нам определений межпланетных расстояний, но и остававшееся долгое время самым точным. Тит Ливий называет Архимеда «единственным в своем роде наблюдателем неба и звезд»20. (Вместе с тем Архимед ошибся, вычсляя размеры Земли, расстояние от Земли до Солнца и отношение их диаметров.)

Особенно большое восхищение у современников и потомков вызвал созданный Архимедом небесный глобус – прообраз теперешнего планетария. В «Диалоге» Цицерона «О государстве» приведен рассказ одного из собеседников – Луция Фурия Фила об этом удивительном изобретении ученого: «Я помню, как Гай Сульпиций Галл..., был в доме у Марка Марцелла, который вместе с ним когда-то был консулом, велел принести сферу, которую дед Марка Марцелла, завоевав Сиракузы, вывез из этого богатейшего и роскошно украшенного города, в то же время не доставив оттуда в свой дом ни одного другого предмета из столь значительной военной добычи. Хотя я очень часто слыхал рассказы об этой сфере, так как с ней было связано славное имя Архимеда, сама она не особенно нравилась мне; более красива и более известна в народе была другая сфера, созданная этим же Архимедом, которую тот же Марцелл отдал в храм Доблести. Но когда Галл начал с большим знанием дела объяснять нам устройство этого прибора, я пришел к заключению, что сицилиец обладал дарованием большим, чем то, каким может обладать человек... Когда Галл приводил эту сферу в движение, происходило так, что на этом шаре из бронзы Луна сменяла Солнце в течение стольких же оборотов, во сколько дней она сменяла его на самом небе».

Римский поэт V в. Клавдиан, также видевший «сферу», посвятил ей следующие строки:

«Неба устав, законы богов, гармонию мира–

Все Сиракузский старик мудро на аемлю принес. Воздух, скрытый внутри, различные движет светила Точно по дивным путям, сделав творенье живым».

Отсюда следует, что «сфера» приводилась в движение каким-то пневматическим механизмом.

Создание небесного глобуса – еще одно свидетельство того, что Архимед был выдающимся изобретателем.

В заключение приведем портрет ученого, нарисованный Плутархом: «Архимед имел возвышенную душу и глубокий ум... Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которые были предметом исследований Архимеда... Не кажется невероятным, что он, как рассказывают, будучи околдован геометрией как какой-то домашней сиреной, забывал о пище, питье и пренебрегал заботами о своем теле; нередко насильно влекли его в баню и к натиранию маслом, но он и в бане на очаге изображал геометрические фигуры, а по своему телу, намазанному маслом, чертил пальцем линии... Хотя у него было много прекрасных открытий, он, говорят, просил своих родственников и друзей начертить на его могиле только цилиндр и вписанный в него шар и указать соотношение между объемами этих тел. Таков был Архимед, который благодаря своим глубоким познаниям в механике смог, насколько это от него зависело, сохранить от поражения и себя, и свой город».

Теоретик и практик, творец и мастеровой, генератор идей и человек, претворяющий их в жизнь. Как правило, это разные люди, но в Архимеде гениально сочетались качества ученого и инженера. Он основоположник статики и гидростатики. В трудный час для отчизны Архимед поставил все свои знания на службу согражданам и погиб, защищая отечество от неприятеля.

Архимед как ученый намного опередил свое время.

Мыслители такого ранга появляются только в эпоху Возрождения, а если говорить о физико-математических науках, то преемников Архимеда можно найти лишь в XVII столетии.

Величайший ученый древнего мира, гений всех времен родился в городе Сиракузах в знатной, но небогатой семье астронома, и должен был унаследовать профессию отца. Случилось так, что один из родственников Архимеда, возвратившись в Сиракузы из успешного военного похода во главе войска, захватил власть и объявил себя царем. Став родственником царя, Архимед получил возможность продолжать образование. Он поехал в Александрию, где установил научные контакты с выдающимися учеными того времени: астрономом и математиком Кононом Самосским, ученым Ератосфеном Юренским и другими, с которыми, возвратившись домой, обменивался научными работами. Поэтому много работ ученого написаны в форме научных писем.

Находясь в Александрии, Архимед овладел всем тем, чего достигли к тому времени математика, астрономия, физика. Тогда же Архимед проявил себя как выдающийся инженер и изобретатель. В Египте он руководил сооружением дамб и плотин. Открыв винтовую линию, изобрел «архимедов винт», или «кохлею», – механизм, который широко применяется в разнообразнейших областях науки, техники и в быте. Винтовая авиация, винтовые корабли, турбины, разные виды шнеков, шнековые прессы, винтовые насосы, вентиляторы и масса других приборов, механизмов и орудий есть потомками архимедового винта.

Скоро имя Архимеда стало известной в многих странах, слава его достигла Сиракуз, где так требовался его талант ученого и инженера. Сиракузы переживали тревожные времена. Они балансировали между двумя враждующими могущественными странами – Римом и Карфагеном, выжидали, чтобы стать союзником того, кто победит в затяжной войне. Архимед, по настоятельной просьбе сиракузского царя Перона, возвращается в Сиракузы, где свыше 25 лет отдает научной и инженерно-изобретательской работе, работая и главным инженером-теоретиком, и исполнителем широких оборонительных работ. На это время приходятся самые выдающиеся его открытия. Ни в одном из своих произведений и научных писем Архимед не оговорился о своих инженерных изобретениях. Напрасно кое-кто делает из этого вывод, что ученый считал их занятием второстепенным, недостойным настоящего ученого. Это совсем не так. Дело в том, что его деятельность имела жизненно важное значение для страны и была военной тайной. В 215 г. Перрон умер. А в скором времени Сиракузы выступили против Рима. Чтобы укротить мятежное государство, в Сицилию отправились две римских армии. Беспощадно расправившись с мирным населением, римляне с суши и моря осадили Сиракузы. Дневной и ночной штурм Сиракуз были отражены с большими потерями для римлян. Эти потери нанесли римлянам машины, изготовленные за проектами и под руководством Архимеда. В то время это было невиданное оружие. Машины Архимеда засыпали врага камнями, копьями, стрелами, разрушали корабли и штурмовые машины, поднимали в воздух воинов.

К недавнему времени считали легендой пересказы некоторых древних авторов о том, что с помощью системы зеркал Архимед на расстоянии полета стрелы сжигал римские корабли. Лишь в последнее время ученые доказали, что «огонь Архимеда» не легенда, а возможный факт. Сооружая памятник своему большому земляку, сиракузцы поставили его возле оружия, которое к недавнему времени считалась легендарной, а в действительности было в арсенале сиракузцев в те далекие годы тяжелых испытаний. Лишь после продолжительной осады, осенью 212 г. до н. э., когда предатели открыли одни из отдаленных от центра ворот, римлянине проникли в город. Взятие римлянами городов, как правило, сопровождалось страшной жестокостью. В полной мере разгул завоевателей познали и коварно захваченные Сиракузы. Одной из жертв этой жестокости стал Архимед.

Существует несколько версий гибели ученого. Рассказывают, что он так погрузился в доказательство какой-то теоремы, что не заметил, когда римляне захватили город. Солдату, который поднял над ним меч, лишь воскликнул: «Не трогай моих черчений!» (Из других пересказов – «Разбей голову, но не трогай моих черчений!»). Пишут также, что он просил солдата дать ему время завершить доказательство. Таким изображали Архимеда авторы проримской ориентации, стремясь показать ученого далеким от жизни. Но вряд ли, Архимед остался бы равнодушным к тому, что делается в городе, обороне которого он отдал свой разносторонний талант. Хотя преданность его науке передана правильно. В миг смертельной опасности он оставался верным себе – защищал, возможно, найденное только что решение какой-то сложной задачи, забыв о себе.

В деятельности Архимеда тесно объединены решения конкретных технических задач, выдвинутых общественными потребностями, с глубокими теоретическими обобщениями, которые приводили его к открытию новых важных зависимостей, прокладыванию путей к формированию целых теорий.<>      Как инженер ученый решал задачи строительной механики, которые требовали точного расчета веса тяжелых подвешенных тел, равновесия тяжелых балок и плит, которые опираются на одну или несколько колон. Для кораблестроения он нашел знаменитое условие равновесия плавающих тел, решил важную для практики задачу спуска корабля на воду и подъем его из воды. Люди давно использовали рычаг, коловорот, блок и прочие простые механические устройства. Не найдя законов действия этих механизмов, приписывали, им магические свойства. Архимед не разделял таких взглядов на разные явления природы, свойства чисел и геометрических фигур. Он понимал, что все объясняетbrс я реально существующими причинами, подчиненными определенным законам, и вопрос состоит лишь в том, чтобы открыть эти законы. Такой была методологическая позиция ученого, которая помогла ему осуществить гениальные открытия. Одним из таких открытий является закон обратно пропорциональной зависимости между силой и плечами рычага. Пересказывают, что, открыв этот закон, Архимед победно воскликнул: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю!». Правда, ученые не верят в истинность этих слов. Архимед был хорошим математиком и знал, какой длины нужен рычаг и на какое расстояние надо было бы переместить один его конец, чтобы вторым сдвинуть Землю хотя бы на сантиметр.

Закон Архимеда о том, что тело, погруженное в жидкость, теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость, лежит в основе всей современной гидра- и аэростатики.

И все-таки Архимеда считают прежде всего математиком. Он создавал в «золотом веке» геометрию, и она была главным делом его жизни. Ведущая идея математического творчества Архимеда, которая есть непосредственным продолжением идей, заложенных его предшественниками, – это вычисления площадей и объемов разных фигур. Вычисления площади многоугольников свели к вычислению площади квадратов. Не удалось квадратировать лишь круг. Архимед показал, что определения поверхностей конуса, цилиндра и шара сводится к нахождению площади круга, а определения объема шара (и его частей), эллипсоида, параболоида и гиперболоида вращения – к определению объем конуса и цилиндра. Итак, элементарными фигурами для Архимеда были квадрат и круг, куб и цилиндр. Поверхности и объемы более сложных геометрических фигур он подавал в отношении к равновеликим элементарным фигурам.

В зрелом возрасте, когда ученому было около пятидесяти лет, он написал виднейшие из своих работ, которые вошли неоценимым достоянием в казну мировой научной мысли. Среди них: «Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах», «Измерения круга». В этих произведениях решено много новых задач по вычислению площадей и объемов геометрических фигур, нахождению центров их веса. Достигнутые при этом результаты имели огромное значение для науки.

Поражает большое количество доказанных автором теорем и решенных задач.

Перечислим хотя бы некоторые из них.

Архимед дважды возвращался к знаменитой задаче квадратуры круга. В книжке «Измерения круга» он впервые нашло чрезвычайно точное представление длины круга, площади круга и его частей через радиус. Из основных результатов Архимеда о длине круга и площади круга назовем три.

1.Площадь круга равняется площади прямоугольного треугольника, один катет которого конгруэнтный радиусу круга, а второй – длине окружности этого круга.

2.Площадь круга относится к площади описанного квадрата приблизительно как 11 до 14.

3.Отношения длины круга к диаметру (в современных обозначениях – число ?) находится в границах: < ? < . Этот результат ученый получил, вычисляя периметр правильного 96-угольника, вписанного и описанного вокруг единичного круга. Так называемое архимедово приближение числа было наилучшим в эпоху Позднего Возрождения, а на практике его применяют и в наше время. Метод, каким ученый решал эту задачу, и сегодня рассматривается в учебниках многих стран мира.

Площадь сегмента параболы равняется площади вписанного в этот сегмент треугольника.

Площадь поверхности шара равняется увеличенной вчетверо площади ее большого круга.

Площадь сегмента шара равняется площади круга, радиус которого равен расстоянию от вершины сегмента до его круговой периферии.

Объем цилиндра относится к объему вписанного в него шара, как 3 к 2, а полная поверхность этого цилиндра равняется поверхности впucaнoго в него шара. (Эти два открытия Архимед в особенности высоко ценил; чертежи шара, вписанного в цилиндр, он заповещал вычеканить на своем надгробии). Площадь, ограниченная первым витком спирали ? = а? (теперь эта кривая названная именем Архимеда), равняется площади круга, радиус которого конгруэнтный радиусу-вектору конца витка спирали. Архимед не просто решал задачи. Прокладывал новые пути в математике. Вычисляя длины кривых линий, площади криволинейных поверхностей, объемы криволинейных фигур, центры массы геометрических фигур, предусмотрел многое для дальнейшего развития основных разделов высшей математики – интегрального и дифференциального исчисления, построенных через два тысячелетия Кеплером, Кавальере, Ферма, Лейбницом и Ньютоном. Архимед развил и углубил метод вычерпывания Евдокса Книдского. До открытия интегрального исчисления это был единый научно обоснованный прием исследования предельных процессов. Архимед нашел метод, который во многих случаях давал возможность решить тяжелейшую часть задач на нахождение площадей и объемов геометрических фигур – вычислить границу, к которой стремится длина (площадь или объем) системы прямолинейных фигур, вписанных в данную криволинейную фигуру и описанных вокруг нее. Особенность этого метода – органическое объединение сугубо математических соображений и широкое применение средств механики и статики. (См.табл.3).

Вычисляя значение геометрических величин, Архимед, в сущности, применял нижние и верхние интегральные суммы, которые теперь называются суммами Дарбу. Так, вычисляя величину V геометрической фигуры (длины, площади или объема), Архимед вписывает в эту фигуру и описывает вокруг нее последовательности фигур, которые состоят из элементарных частей, величины которых нам известные. Подытоживая эти части, Архимед получает значения величин (описанной) и S (вписанной) фигур. Тогда S < V < . Устанавливая, что – S может быть как угодно маленькой, находит V как общий предел и S (во вcеx рассматриваемых им случаях была монотонно нисходящая, а S – монотонно возрастающая).

Как и другие математики Древнего мира, Архимед излагал готовые результаты, не раскрывая путей, которыми их было найдено. И это молчание было для ученого большой трагедией. Ведь метод его давал прекрасные результаты, хотя был «незаконным», осужденным и отброшенным законодателями по вопросам методологии науки – идеалистом Платоном и его учеником материалистом Аристотелем. Очевидно, уже где-то на склоне творческого пути Архимед, прочитав работы ученого-материалиста Демокрита из Абдер (460 – ок. 380 до н. э.), обнаружил, что знаменитый философ в своей концепции атомистической математики был его единомышленником, он также представлял трехмерные фигуры образованными из совокупности двумерных, последние из прямых, а прямые – из неделимых далее точек – атомов.

Возможно, что тогда Архимед и решил перестать молчать. Его «Послание Эратосфену о механических теоремах» раскрывало все тайны творческого метода, все «еретические», с точки зрения требований официальной науки, приемы поиска истины. Послание Эратосфену, которое еще называют «Ефод» («О методе»), постигла трагическая участь работ Демокрита. Почти все копии «Ефода» были уничтожены последователями Платона и Аристотеля. Только в 1906 г. ученые случайно натолкнулись на след одной из копий этого произведения, в котором Архимед открывал своему александрийскому коллеге, а через него и всем математикам секреты некоторых своих квадратурных и кубатурных теорем.

Вот соображения, с помощью которых он получил точную формулу для объема шара. Пусть [АС] и [BD] – два взаимно перпендикулярных диаметра большого круга шара с центром К, а AFE – осевое сечение конуса, основания которого шар касается в центре – точке С (рис. 4). Второй конец диаметра АС совпадает с вершиной конуса. На круге с диаметром |FE| (основе конуса) построим еще цилиндр, высота которого равна |АС|. Осевое сечение цилиндра – GFEL. На рисунке представлено осевое сечение комбинации трех геометрических фигур: цилиндра, вписанного в него конуса и шара, диаметр которого конгруэнтный высоте цилиндра (и конуса).

Отложим |AН| = |АС| и рассмотрим равноплечный рычаг НАС с точкой опоры в А. Через любую точку S диаметра АС построим плоскость, перпендикулярную АС. Она пересечет цилиндр по кругу диаметром |MN|, шар – по кругу диаметром |РО| и конус – по кругу диаметром |RQ|. Очевидно, что |MS|=|AC| и |QS|=|AS|. Поэтому |MS| |SQ|=|AC| |AS|=|AP|2. Потом |AP|2=|PS|2+|AS|2=|PS|2+|SQ|2. Поскольку |AН|=|AС|, то |AН|:|AS|=|AC|:|AS|=|MS|:|SQ|=|MS|2:(|MS|•|SQ|), или, на основе предыдущего равенства, |AH|:|AS|=|MS|2:(|SP|2+|SQ|2). Умножив члены второго отношения на ?, будем иметь,или

Теперь вообразите, что круги с диаметрами |МН|, |ОР| и |RQ| изготовлены из однородных, например металлических, пластинок, тогда образовавшемуся равенству можно дать такое механическое толкование: если круг с диаметром |МN| подвесить в точке S, он уравновесит на образованном нами рычаге круги с диаметрами |ОР| и |RQ|, подвешенными в точке Н. Но то же можно сказать относительно всех троек соответствующих кругов, образованных при сечении данной фигуры произвольной плоскостью NiMi АСС. Отсюда вытекает: когда в Н подвесить все круги диаметром типа ОР (они будут разной длины, а вместе образуют шар с диаметром АС) со всеми кругами разных диаметров типа PQ (то есть конус), то они уравновесят круги с диаметрами, конгруэнтными |МN|, каждый из которых остается на своем месте, то есть цилиндр, масса которого будто сосредоточена в точке К. Условно установленное отношение равновесия нашего воображаемого рычага можно записать так: (масса конуса + масса шара)•|АН|=(масса цилиндра)•|AK| (см. табл. 3). Поскольку |АН|=2•|AК| и объем (а соответственно и масса) конуса составляет треть объема (соответственно массы) цилиндра, будем иметь: 2•(масса конуса + масса шара) = 3 массы конуса. Отсюда имеем: два шара равновеликие по объему одному конусу. Поскольку |АС|=2|АК| и объем конуса AEF в 8 раз больше объема конуса с основанием диаметром |BD|, получаем, что Vшара = 4Vкoнyca ABD. Если обозначить длину радиуса шара буквой R, то искомый его объем V будет равняться:

Евклид доказал в «Началах», что существует только пять типов выпуклых многогранников, в которых все грани – конгруэнтные правильные многоугольники и все многогранные углы конгруэнтны. Taкие многогранники называются правильными. Это тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. Так он назвал многогранники, у которых все грани – правильные многоугольники более как одного рода, а все многогранные углы конгруэнтны. Только в наше время удалось доказать, что тринадцатью открытыми Архимедом полуправильными многогранниками исчерпывается все множество этих геометрических фигур. Четырнадцатый полуправильный многогранник, который открыл советский математик В. Г. Ашкинузе, уже кое-чем отличается от архимедовых (см.: Квант, 1976, №1). (См.табл.4)

Несмотря на блестящие успехи греческой математики в области геометрии, искусство счета и техника вычислений оставались заброшенными. Алфавитная нумерация была настоящим тормозом в разработке вычислительных алгоритмов. В работе «Псаммит» («Исчисления песка») Архимед старается исправить такое положение в греческой системе исчисления. Он решает задачу вычисления количества песчинок, которые содержались бы в массе песка, которая заполнила бы «всю Вселенную».

Эта задача и приводит Архимеда к разработке принципиально новой, позиционной системы исчисления. В ее основу было положено октаду, которая равняется мириаде мириад (у греков мириада равнялась 104), то есть 108. Числа до 108 назывались «числами первыми», 108 – единица «чисел вторых», (108)2 – единица «чисел третьих» и т.д. Все они составляют первый период чисел, за ним шли числа до 108-го периода. Наибольшее число, которое можно было выразить этим исчислением октад, равнялось . Число песчинок, которое удовлетворяло условие поставленной задачи, равнялось лишь 1063.

В «Псалмите» впервые была четко высказана идея бесконечности ряда натуральных чисел. Идея настолько новая, что только через много столетий она стала общепризнанной. Здесь Архимед блестяще решил и немало астрономических проблем. Например, он экспериментально установил, что диаметр Солнца находится; в границах 32°27'<D<35°55',5 что – и значение Коперник считал, d="31°48'," истинное же этой величины 31°28? апогее 32°37? в перигее. Итак, верхняя граница, которую нашел Архимед, не хуже найденной Коперником.>

Архимеда считают автором «Задачи о быках Гелиоса (Солнца)». Он отправил ее александрийским ученым в одном из писем Эратосфену Юренскому. На основе ряда зависимостей предлагалось вычислить количество быков четырех мастей, которые паслись в четырех стадах и принадлежали самому Солнцу. Задача сводилась к неопределенному уравнению t2 – 4729494 и2 =1. Общее количество быков, которое удовлетворяет условие задачи, – число порядка 7766•10206541. Для того чтобы записать все восемь чисел ответа, нужна была бы книжка в 660 страниц, если на каждой странице печатать по 2500 цифр. Такую задачу, по мнению Архимеда, может решить ученый, если он хочет считать себя таким, что «в даной мудрости все до конца превзошел». Понятно, что он поставил задание, выполнить которое ученым того времени физически было не по силам.

Несмотря на то, что Архимед очень много времени отводил на решение сложных задач по физике, математике и технике, он еще занимался математическими играми (даже был автором одной из них Стомaxионa). В переводе из древнегреческого стомaxион означает то, что вызывает злость. Прямоугольник, длины сторон которого относятся, как 1:2, нужно разрезать на 14 частей. Tогда оказывается, что из них можно составить силуэты разных животных, предметов, сооружений и т.д. (див.: .Квант, l978, № 8). Испытав свою сообразительность в этой игре, вы убедитесь, что название целиком оправдано. Игра воспитывает изобретательность, тренирует зрение, умение видеть геометрические формы в окружающих предметах. Стомахион – патриарх среди математических игр-головоломок, он выдержал 2000-летнее испытание и не устарел, как не устарели теоремы и задачи гениального ученого.

В 75 г. до н. э. римский сенат назначил Цицерона (106–43 до н. э.) квестором в Сицилию.

Цицерон лично принял участие в поисках и нашел могилу Архимеда. Он помнил стихи и чертежи, вычеканенные по завещанию ученого на его памятнике: цилиндр с вписанным в него шаром.

А со временем с увлечением описал детали поиска и приказал отремонтировать полуразрушенный, забытый памятник на могиле великого сиракузца.

Тысячелетия запорошили следы тех далеких лет. Лишь слава Архимеда выстояла при разрушительном ходе истории. Выстояла, так как Архимед создал памятник, который не поддается разрушительному бегу тысячелетий.

<<< На главную